命題２０
3つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、2項と2項をとられて同じ比であるならば、等間隔比により、第1の量が第3の量より大きいならば、第4の量は第6の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
3つの量A、B、Cがあり、それらと量において等しい他のD、E、Fがあり、それらが2項と2項を取られたとき同じ比であるこという。つまりAはBに対し同じようにDはEに対し、そしてBはCに対し同じようにEはFに対する。
等間隔比により、AはCより大きいとする。
AがCより大きいならば、DもまたFより大きい、小さいならば小さいことをいう。
AはCより大きく、Bはある他の量であり、大きい量は小さい量が持つより大きい比を同じ量に対して持つから、それゆえにAはBに対してCがBに持つより大きい比を持つ。propositionⅤ．８
しかしAはBに対し同じようにDはEに対し、そして逆に、CはBに対し同じようにFはEに対し、それゆえにDはEに対しFがEに持つより大きい比を持つ。propositionⅤ．７cor、propositionⅤ．１３
しかし同じ量に対して比を持つ量において、大きい比を持つものは大きく、それゆえにDはFより大きい。propositionⅤ．１０
同じようにAがCと等しいならばDもまたFと等しく、小さいならば小さいことを証明できる。
それゆえに、3つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、2項と2項をとられて同じ比であるならば、等間隔比により、第1の量が第3の量より大きいならば、第4の量は第6の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
証明終了